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23.1 一元二次方程 学案

23.1??一元二次方程??学案

学习目标:

1、会根据具体问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想,提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念;知道一元二次方程的一般形式;会把一个一元二次方程化为一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

课堂研讨:

探究新知

【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形的边长是多少?

设剪去的正方形的边长为xcm,你能列出满足条件的方程吗?你是如何建立方程模型的?

合作交流

动手实验一下,并与同桌交流你的做法和想法。

?

?????列出的方程是????????????????????.

自主学习

?【做一做】根据题意列出方程:

1、一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少?

2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数,求这个数。

3、一块面积是150cm长方形铁片,它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少?

观察上述四个方程结构特征,类比一元一次方程的定义,自己试着归纳出一元二次方程的定义。

【我学会了】

1、只含有???????未知数,并且未知数的最高次数是???????????,这样的???????????方程,叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式:???????????????????????????,其中?????????二次项,???????????是一次项,??????????是常数项,???????二次项系数?,???????一次项系数。

展示反馈

【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

例2】??将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。??

(1)???????????(2)

?

【挑战自我】

1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:

(1)3x2x=2;???????????????(2)7x3=2x2;

(3)(2x1)3x(x2)=0??????(4)2x(x1)=3(x5)4.

2、判断下列方程后面所给出的数,那些是方程的解;

(1)??????±1?????±2;

(2)?????????±2,???±4

3、要使是一元二次方程,则k=_______.

4、已知关于x的一元二次方程有一个解是0,求m的值。

?

?

?

拓展提高

1、已知关于x的方程。问

(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?

(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?

?

?

?

归纳小结

1、本节课我们学习了哪些知识?

2、学习过程中用了哪些数学方法?

3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么?

作业:

课本第19页习题23.1第1、2、3题。

课后反思:

?

?

?

23.2.1一元二次方程的解法(一)

教学目标

1.会用直接开平方法解形如(a≠0,a≥0)的方程;

2.灵活应用直接开平方法解一元二次方程。

3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用。

研讨过程

一、复习导学

1.什么叫做平方根?

2.平方根有哪些性质?

二、探索新知

试一试:

解下列方程,并说明你所用的方法,与同伴交流。

(1)x2=4???????????????????(2)x2-1=0

解(1)∵x是4的平方根

x????????

即原方程的根为:?x1=????,x2?=????

(2)移向,得x2=1

?∵?x是1的平方根

∴x=????????

即原方程的根为:?x1=????,x2?=????

概括总结:

就是把方程化为形如x2=a(a≥0)或(a≠0,a≥0)的形式,然后再根据平方根的意义求解的过程,叫做直接开平方法解一元二次方程。

如:已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解,且有两个实数根,则m、n必须满足的条件是(?????)

A.n=0?????????????????????B.m、n异号???

C.n是m的整数倍???????????D.m、n同号?

1解下列方程

1x2-1.21=0????????????????????(24x2-1=0?

解:(1)移项,得x2=????????????????2)移项,得4x2=???

∵x是??????的平方根????????????两边都除以4,得????????

∴x=????????????????????????????∵x是??????的平方根?

即原方程的根为:?x1=????,x2?=????????∴x=????????

即原方程的根为:

?x1=????,x2?=????

2解下列方程:

?x12=?2????????????????????x124?=?0

??1232x23?=?0???????????

?

?

?

?

练一练:

1.解下列方程:

1x2-0.81=0???????????????????????????(29x2=4??

?

?

?

?

2.解下列方程:

?

1)(x+22??=3?????????????????????(2)(2x+32-5=0

?

?

?

?

3)(2x-12???=3-x2?

?

?

?

?

4、一个正方形的面积是100cm2?求这正方形的边长是多少?

?

?

课堂小结:

1.?能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?

???????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????????????????????

2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗?请举例说明。

?

课后反思:

?

?

?

?

?

23.2.2一元二次方程的解法(二)

教学目标

1、?会用直接开平方法解形如(a≠0,a0)的方程;

2、?灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、?使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换远方法。

研讨过程

一?、?复习练习:

1、?什么是直接开平方法?请举例说明。

2、?你能解以下方程吗?

(1)8x2=?1??????????(2)3y218=0??

(3)??x(x-1)+4x=0????????(4)—3x2?27=0

二、例题讲解与练习

你是怎样解方程的?

解:1、直接开平方,得x+1=????????????

所以原方程的解是x1?????x2?????

2、原方程可变形为

方程左边分解因式,得(x+1+16)??????????????=0

即可(x+17)???????????=0

所以x+17=0,???????????????=0

原方程的蟹?x1??????x2???????

练习:?解下列方程?

1)(x1240;???????????????(2)12(2-x2-9=0.

?

?

?

(3)(x2216=0;????????????(4)(x1)2180

?

?

?

(5)(13x)21????????????????(6)(2x3)2250.

?

?

三、读一读

小张和小林一起解方程??????x3x2)-6(3x2)0.

小张将方程左边分解因式,得

(3x2)(x6)0,

所以???3x20,x60.

方程的两个解为  x1,??x2=6.

小林的解法是这样的:

移项,得  ????x(3x2)6(3x2),

方程两边都除以(3x+2),得???????x6.

小林说:“我的方法多简便!”可另一个解x1哪里去了?

小林的解法对吗?你能解开这个谜吗?

?

四、讨论、探索:解下列方程?

(1)(x+2)2=3(x+2)??(2)2y(y-3)=9-3y??(3)(?x-2)2?-x+2?=0?

?

?

?

(4)(2x+1)2=(x-1)2?????????????????????????????????????????(5)

?

?

?

练习:解下列方程

1)?2?(x+3)2=6(x+3)??2)?(2x+3)2=(4-2x)2???????3)?x(3x+1)=9x+3

?

?

?

本课小结

这节课你学到了什么?你认为应该注意哪些?

布置作业:

习题1(5、6)习题2(1、2)

课后反思:

?

23.2.2一元二次方程的解法(因式分解法)

◆随堂检测

1.?一元二次方程的解是_____.

A.?????????B.?

C.???D.??

2.?方程的根是_____.

A.??????????B.?

C.????D.?

3.?当______时,是关于的完全平方式.

4.?下列方程中,不适合用因式分解法的是_____.

A.????B.?

C.?????D.?

◆典例分析

?用因式分解法解方程:

所以

拓展提高

1.?用因式分解法解下列一元二次方程?

(1)

(2)

?

?

?

(3)

?

?

?

(4)

?

?

2.?已知方程的一个根为-1,那么方程的根为_____

A.??????????B.?

C.????D.?以上答案都不对

3.?如果,则的值为__________________.

4.?以1和—3为两根的一元二次方程是______________.

5.?用因式分解法解下列方程。

(1)

?

?

(2)

?

?

6.?已知,求的值。

?

?

?

?

?

23.2.3一元二次方程的解法(三)配方法

学习目标:

1、熟练掌握完全平方公式,会将一个二次三项式配成一个完全平方

2、理解配方法的根据就是直接开平方。

3、会用配方法解一元二次方程。注意变形形式的求解

学习过程:

一、?复习回顾:

1、x2=a(a≥0),则x?=_______.

若(x+1)2=a(a≥0),则x?=_______,即?x1=_______,x2=________.

直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的???????????????,右边是一个???????????????

2、解方程:(1)、?????????????????(2)、?

?

?

?

3、思考下面方程如何求解,并思考它们之间的联系

?(1)、??????????????????????????(2)、????????

?

?

?

二、?新课研讨:

1、?象上面的方程求解,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方法是为了????????,把一个一元二次方程转化为两个??????????????来解。

2、配方法是将方程左边变成含有未知数的?????????,右边是?????????,再用直接开平方法求解。

3、例1、在空格处填上适当的数字,使式子成为完全平方。

(1)、+?????=????;???(2)、+?????+25=????

?

?

?

(3)、+????=3?????????(4)、+????=2????

?

?

?

?

?

?

练习1、填空配方

代数式

写成形式

写成形式

+???????

4

???????

?

?

?

?

???????

?

?

?

?

??????

?

?

?

?

??????

?

?

?

?

??????

?

?

?

?

总结:(1)、???????要配成完全平方,横线上只需加上?????????,就可以配成完全平方????

(2)、对于二次项系数不为1的情况,可以先将系数变为1,再进行配方。

例2、解下列方程

(1)、??????????(2)、?????????(3)、

?

?

?

?

?

练习2、(1)、????????????????????????(2)、

?

?

?

?

(3)、??????????????????????????????(4)、

?

?

?

?

(5)、??????????????????????????(6)、

?

?

?

?

作业:

课后反思:

?

?

23.2.3一元二次方程的解法(配方法)练习

◆随堂检测

1.将一元二次方程化成的形式,则等于_____.

A.-4?????????????B.?4??????????C.-14????????????D.?14

2.?.

3.?二次三项式的最小值为______.

4.?若方程可化为,则=_____,=______.

5.?方程配方后得=_________.

◆课下作业

6.?当=______时,有最大值,这个最大值是_______.

7.?如果是△ABC的三边,且满足式子,请指出△ABC的形状,并给出论证过程.

8.?说明代数式总大于.

?

9.?用配方法解下列方程

(1)?????????????????(2)

?

?

?

(3)

?

?

?

体验中考

1.(2009年山西太原)用配方法解方程时,原方程应变形为(????

A???B

C?D?

2.(2009年湖北仙桃)解方程:

?

3.(2008杭州)已知方程可以配成的形式,那么可以配成下列的_____

A.????????B.?

C.??????D.?

?

?

23.2?.4一元二次方程的解法(四)

教学目标

1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力。

3、在探索和应用求根公式中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,渗透辩证唯物广义观点。

研讨过程

一、复习旧知,提出问题

1.用配方法解下列方程:

?(1)???????????(2)

2.用配方解一元二次方程的步骤是什么?

3.用直接开平方法和配方法解一元二次方程,计算比较麻烦,能否研究出一种更好的方法,迅速求得一元二次方程的实数根呢?

二、探索解法

问题1:能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为吗?

????因为,方程两边都除以,得??????????????????????????

???????????????????????????移项,得??????????????????????????

???????????????????????????配方,得??????????????????????????

?????????????????????????即???????????????????????

问题2:当,且时,大于等于零吗?

得出结论:当时,因为,所以,从而

问题3:在研究问题1和问题2中,你能得出什么结论?

??得出结论,当时,一般形式的一元二次方程的根为,即

????由以上研究的结果,得到了一元二次方程的求根公式:?(

???????这个公式说明方程的根是由方程的系数所确定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。

???????思考:当时,方程有实数根吗?

三、例题

例1、解下列方程:

??1、;?????????????????2、

??3、;????????????????4、

?

?

?

??例2、解方程

???????解:这里

???????????

???????????因为负数不能开平方,所以原方程无实数根。

如:不解方程,判断下列方程根的情况:

(1)??????????(2)

?

?

?

◆随堂检测

1.若关于的方程有实数解,则得取值范围是____

A.???????????B.?

C.???????????D.?

2.?方程的根是_____

A.????????B.??

C.无实根????????????D.?

3.?如果关于的方程有两个相等的实数根,那么=______

4.?若关于的方程没有实数根,则得取值范围是______

5.?下列方程中,没有实数根的是_____

A.????????????B.??

C.?????????????D.??

6.?已知两数的积是12,两数的平方和是25,则这两个数的和为______

7.?用公式法解一元二次方程。

(1)??????????????????(2)

?

?

?

课堂小结

时,方程有两个???????????的实数根;

时,方程有两个????????的实数根;

时,方程?????????实数根。

课堂作业:

课本28页练习题

课后反思:

?

23.2.5一元二次方程的解法(五)

教学目标

1、使学生能根据量之间的关系,列出一元二次方程的应用题。

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、培养学生数学应用的意识。

研讨过程

一、复习旧知,提出问题

1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。

2、用多种方法解方程

二、解决问题

请同学们先看看P18页问题1,要想解决§23.1的问题1,首先要解方程,同学谁能解这个方程吗?

口答结果:x1=????????x2=??????????,??

提问:

1、所求都是所列方程的解吗?

2、所求都符合题意吗?说明了什么问题?

我们应把实际问题转化为数学问题来解决,求得的方程的解,不一定是原问题的解答,因此,要注意是检验解是否符合题意。(作为应用题,还应作答)。

三、例题

例1.如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。

分析:设截去正方形的边长x厘米,底面(图中虚线线部分)长等于???????????厘米,宽等于???????????????厘米,底面=?????????

解:设截去正方形的边长为x厘米,根据题意,得

?????????????????????????

解方程得

?????????????????????????????

经检验,?????????不符合题意,应舍去,符合题意的解是?

???????????????????

答:截去正方形的边长为??????厘米。

合作交流:

列一元二次方程解应用题的步骤:

???????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????????????????????????

三、课堂练习

1.学校生物小组有一块长32m,宽20m的矩形试验田,为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540,小道的宽应是多少?

?

?

?

?

?

2.用一块长80cm、宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的边长为xcm的小正方形,然后做成底面积为1500cm的无盖长方体盒子。为求出x,根据题意,列方程并整理得(??????)

A、x-70x+825=0??????????????????B、x+70x-825=0

C、x-70x-825=0??????????????????D、x+70x+825=0

3.要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长为10cm的直角三角形,则两条直角边的长分别为(???????)

A、4cm,8cm?????B、6cm,8cm?????C、4cm,10cm?????D、7cm,7cm

课后延伸:(典型习题)

?

1、台门中学为美化校园,准备在长32米,宽20米的长方形场地上,修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校学生参与图纸设计.现有三位学生各设计了一种方案(图纸如下所示),问三种设计方案中道路的宽分别为多少米?

⑴甲方案图纸为图1,设计草坪总面积540平方米.

解:设道路宽为米,根据题意,得

?

?

?

?

答:本方案的道路宽为????米.

⑵乙方案图纸为图2,设计草坪总面积540平方米.

解:设道路宽为米,根据题意,得

?

?

?

?

答:本方案的道路宽为????米.

⑶丙方案图纸为图3,设计草坪总面积570平方米.

解:设道路宽为米,根据题意,得

?

?

?

答:本方案的道路宽为????米.

四、小结

让学生反思、归纳、总结,应用一元二次方程解实际问题,要认真审题,要分析题意,找出数量关系,列出方程,把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的解之后,要注意检验是否任命题意,然后得到原问题的解答。

五、作业:

练习1、2

课后反思:

?

23.2.6一元二次方程的解法(六)

?

教学目标

1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。

2、培养学生分析问题、解决问题的能力,提高数学应用的意识。

研讨过程

一、创设问题情境

百分数的概念在生活中常常见到,而量的变化率更是经济活动中经常接触,下面,我们就来研究这样的问题。

问题:某商品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。(精确到0.1%)

二、探索解决问题

????分析:“两次降价的百分率一样”,指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值,即两次按同样的百分数减少,而减少的绝对数是不相同的,设每次降价的百分率为,若原价为,则第一次降价后的零售价为????????????,又以这个价格为基础,再算第二次降价后的零售价为??????????????

????解:设每次降价的百分率为x.根据题意,得

????????????????????

解这个方程,得????????????????????????????????????????

经检验:??????????????????????????????????????

答:每次降价的百分率为?????????.

三、拓展引申

????某药品两次升价,零售价升为原来的?1.2倍,已知两次升价的百分率一样,求每次升价的百分率(精确到0.1%

解:每次升价的百分率为,根据题意,得

??????????????????????????????????????

解这个方程,得

???????????????????????

经检验:??????????????????????????????????????

答:每次升价的百分率为??????????。

四、巩固练习

1.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%,?若每年下降的百分数相同,求这个百分数.

?

?

?

?

?

2.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%,?该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3,?4月份平均每月销售额增长的百分率.

?

?

?

?

?

3ag亚游是真还是假|HOME.某公司向银行贷款20万元资金,?约定两年到期时一次性还本付息,?年利率是12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余6.?4万元,若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.

?

?

?

?

五、小结

关于量的变化率问题,不管是增加还是减少,都是变化前的数据为基础,每次按相同的百分数变化,若原始数据为,设平均变化率为,经第一次变化后数据为;经第二次变化后数据为。在依题意列出方程并解得值后,还要依据的条件,做符合题意的解答。

六、作业:

课本第30页,练习1、2

课后反思:

?

?

?

?

发布于:2018-05-17

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